Question

20．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=1，a₂=3，S_k+2+S_k-2S_k+1=2對任意正整數(shù)k成立，則a_n=2n-1，S_n=n²．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式得到數(shù)列數(shù)列{a_n}為以2為公差的等差數(shù)列，然后直接由等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式得答案．

解答 解：由S_k+2+S_k-2S_k+1=2，得
（S_k+2-S_k+1）-（S_k+1-S_k）=2，
即a_k+2-a_k+1=2，
∵k∈N^*，∴從第二項起，數(shù)列{a_n}為以2為公差的等差數(shù)列，
又a₁=1，a₂=3，a₂-a₁=3-1=2也成立，
∴數(shù)列{a_n}為以2為公差的等差數(shù)列，
則a_n=1+2（n-1）=2n-1，
${S}_{n}=n+\frac{n（n-1）×2}{2}={n}^{2}$．
故答案為：2n-1，n²．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，是中檔題．