Question

16．設集合M={（x，y）|$\frac{1}{\sqrt{x}}$$-\frac{1}{\sqrt{y}}$=$\frac{1}{\sqrt{45}}$，x，y∈N^*}，則集合M中的元素個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{\sqrt{y}}$=$\frac{1}{\sqrt{45}}$，可得：$\sqrt{x}$=$\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{y}}{3\sqrt{5y}}$，兩邊平方化為：x=$\frac{45y}{45+y+6\sqrt{5y}}$，令y=5k²，k∈N^*，則x=$\frac{45{k}^{2}}{（k+3）^{2}}$=$\frac{45}{（1+\frac{k}{3}）^{2}}$，對k取值即可得出．

解答 解：由$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{\sqrt{y}}$=$\frac{1}{\sqrt{45}}$，可得：$\sqrt{x}$=$\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{y}}{3\sqrt{5y}}$，
兩邊平方化為：x=$\frac{45y}{45+y+6\sqrt{5y}}$，令y=5k²，k∈N^*，
則x=$\frac{45{k}^{2}}{（k+3）^{2}}$=$\frac{45}{（1+\frac{k}{3}）^{2}}$，可知：只有k=6，時，x=20，y=180，滿足條件．
∴集合M中的元素個數(shù)為1．
故選：B．

點評 本題考查了集合的運算性質(zhì)、代數(shù)式的化簡、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．