Question

兩定點A（1，0），B（-1，0），動點P在y軸上的射影為Q，則

PA

•

PB

+

PQ

2=0
（1）求動點P的軌跡E的方程．
（2）直線l交y軸于點C（0，m），交軌跡E與M、N兩點，且滿足

MC

=3

CN

，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設P（x，y），Q（0，y）.

PA

=（1-x，-y），

PB

=（-1-x，-y），

PQ

=（-x，0）．利用數(shù)量積運算即可得出．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

MC

=3

CN

，可得-x₁=3x₂．設直線l的方程為：y=kx+m．與橢圓方程聯(lián)立化為（2+k²）x²+2kmx+m²-1=0，可得△＞0，化為2+k²＞2m²．可得根與系數(shù)的關系，與-x₁=3x₂聯(lián)立解得即可．

解答： 解：（1）設P（x，y），Q（0，y）.

PA

=（1-x，-y），

PB

=（-1-x，-y），

PQ

=（-x，0）．
∵

PA

•

PB

+

PQ

2=0，∴x²-1+y²+x²=0，化為2x²+y²=1．
∴動點P的軌跡E的方程為y2+

x2

1 2

=1．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵

MC

=3

CN

，
∴-x₁=3x₂．
設直線l的方程為：y=kx+m．
聯(lián)立

y=kx+m 2x2+y2=1

，化為（2+k²）x²+2kmx+m²-1=0，
△=4k²m²-4（2+k²）（m²-1）＞0，
化為2+k²＞2m²．
∴x₁+x₂=-

2km

2+k2

，x₁x₂=

m2-1

2+k2

．
又-x₁=3x₂．，可得k²（4m²-1）=2-2m²，
∴2+

2-2m2

4m2-1

＞2m²，
化為

1

4

＜m2＜1，
解得-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1．
∴實數(shù)m的取值范圍是(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)．

點評：本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．