Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長相等，E是A₁B₁的中點，F(xiàn)是B₁C₁的中點，則異面直線AE和BF所成角的余弦值是（　　）

• A．

  7

  10

• B．

  2

  3

• C．

  7

  50

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：取BC的中點，尋找AF的平行直線GF，將異面直線AE和BF所成的角轉(zhuǎn)化為BF與GF所成的角，然后利用余弦定理求夾角即可．

解答：解：取AC的中點為G，連結(jié)BG，GF，EF，
∵E是A₁B₁的中點，F(xiàn)是B₁C₁的中點，
∴EF∥AG，且EF=AG，
即四邊形AGFE是平行四邊形，
∴AE=GF，
∴BF與GF所成的角即是異面直線AE和BF所成的角．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長相等，∴設(shè)棱長為1，
則BG=

3

2

，GF=AG=

1+( 1 2 )2

=

5 4

=

5

2

，BF=

1+( 1 2 )2

=

5 4

=

5

2

，
∴在三角形BGF中，由余弦定理得cos?∠BFG=

BF2+GF2-BG2

2?BF?GF

=

( 5 2 )2+( 5 2 )2-( 3 2 )2

2?( 5 2 )2

=

7

10

．
故異面直線AE和BF所成角的余弦值是

7

10

．
故選：A．

點評：本題主要考查空間異面直線所成角的求法，利用平移直線法是解決的基本方法，本題也可以建立空間直角坐標系，利用向量法求夾角．