Question

15．已知拋物線C₁：y²=16x上的點P到圓C₂：（x-4）²+y²=$\frac{32}{41}$的圓心的距離等于8，則拋物線C₁在點P處的切線l₁與C₂經(jīng)過點P的切線l₂構成的角中，較小的角θ的正切值等于$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，拋物線的焦點和準線方程，運用拋物線的定義，求得P的坐標，對拋物線求導，可得切線l₁的斜率，再由直線和圓相切的條件：d=r，求得切線l₂的斜率，運用兩直線的到角公式，計算即可得到所求最小值．

解答 解：圓C₂：（x-4）²+y²=$\frac{32}{41}$的圓心為（4，0），半徑為$\sqrt{\frac{32}{41}}$，
拋物線C₁：y²=16x的焦點為（4，0），準線為x=-4，
由拋物線的定義可得x_P+4=8，
解得x_P=4，y_P=±8，
取P（4，8），對拋物線y²=16x，兩邊對x求導，可得：
2yy′=16，即有切線l₁的斜率為$\frac{8}{8}$=1，
由直線和圓相切的條件可得d=r，
設過P的切線方程為y-8=k（x-4），即為kx-y+8-4k=0，
即有$\frac{|8|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{32}{41}}$，解得k=±9，
由兩直線的到角公式可得tanα=$\frac{9-1}{1+9}$=$\frac{4}{5}$，或tanβ=$\frac{-9-1}{1-9}$=$\frac{5}{4}$．
可得較小的角θ的正切值等于$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，注意運用焦點和準線方程，同時考查拋物線的切線和圓的切線方程，考查運算能力，屬于中檔題．