Question

16．已知函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-1（{x∈R}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，m-2≤f（x）≤m+2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式與和角公式對f（x）進(jìn)行化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出單調(diào)區(qū)間；
（2）求出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域U，令U⊆[m-2，m+2]列出不等式組解出m的范圍..

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x$+\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}+kπ$．]，k∈Z．
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值2，當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值-1．
∵m-2≤f（x）≤m+2恒成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{m-2≤-1}\\{2≤m+2}\end{array}\right.$，解得0≤m≤1．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，1]．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的值域，屬于中檔題．