Question

已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在x∈[t，t+1]上的最小值為g（t），求g（t）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)f（x）=ax（x-5）（a＞0），可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸x=

5

2

，恰好位于區(qū)間[-1，4]，得f（x）的最大值是f（-1）=6a=12，得a=2，可得函f（x）數(shù)的表達(dá)式；
（2）分t+1≤

5

2

時(shí)、t≥

5

2

時(shí)和

3

2

＜t＜

5

2

時(shí)三種情況，分別討論函數(shù)的單調(diào)性，可得相應(yīng)情況下函數(shù)的最小值，最后綜合可得g（t）的表達(dá)式．

解答：解：（1）f（x）是二次函數(shù)，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴可設(shè)f（x）=ax（x-5）（a＞0），
可得在區(qū)間f（x）在區(qū)間[-1，

5

2

]上函數(shù)是減函數(shù)，區(qū)間[

5

2

，4]上函數(shù)是增函數(shù)
∵f（-1）=6a，f（4）=-4a，f（-1）＞f（4）
∴f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是f（-1）=6a=12，得a=2．
因此，函數(shù)的表達(dá)式為f（x）=2x（x-5）=2x²-10x（x∈R）．
（2）由（1）得f（x）=2（x-

5

2

）²-

25

2

，函數(shù)圖象的開口向上，對(duì)稱軸為x=

5

2

①當(dāng)t+1≤

5

2

時(shí)，即t≤

3

2

時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，
此時(shí)f（x）的最小值g（t）=f（t+1）=2（t+1）²-10（t+1）=2t²-6t-8；
②當(dāng)t≥

5

2

時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，
此時(shí)f（x）的最小值g（t）=f（t）=2t²-10t；
③當(dāng)

3

2

＜t＜

5

2

時(shí)，函數(shù)y=f（x）在對(duì)稱軸處取得最小值
此時(shí)，g（t）=f（

5

2

）=-

25

2

綜上所述，得g（t）的表達(dá)式為：g（t）=

2t2-6t-8   (t≤ 3 2 ) - 25 2             ( 3 2 ＜t＜ 5 2 ) 2t2-10t       (t≥ 5 2 )

點(diǎn)評(píng)：本題給出一元二次不等式的解集，求二次函數(shù)的表達(dá)式并求它在閉區(qū)間上的最小值，著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．