Question

【題目】已知函數(shù).

(1) 時(shí)，證明： ；

(2)當(dāng)時(shí)，直線和曲線切于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

(3)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出其最小值，從而使得不等式獲證；（2）先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為， ，然后建立方程組，求得.進(jìn)而得到；（3）依據(jù)題設(shè)條件將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立， 進(jìn)而分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值來求解：

解：(1)記，

∵，

令得，

當(dāng)， ， 遞減；當(dāng)， ， 遞增，

∴，

，

得.

(2)切點(diǎn)為， ，則

，∴，

∵，∴由(1)得.

所以.

(3)由題意可得恒成立，

所以，

下求的最小值，

，

由(1) 知且.

所以， 遞減，

∵，∴.

所以.