Question

【題目】已知，函數(shù)．

（1）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素，求的值；

（2）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或.（2）

【解析】

（1）代入解析式表示出方程并化簡，對二次項(xiàng)系數(shù)分類討論與，即可確定只有一個元素時的值；

（2）由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由題意代入可得，化簡不等式并分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出構(gòu)造函數(shù)的最值，即可求得的取值范圍．

（1）關(guān)于的方程，

代入可得，

由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得，化簡可得，

當(dāng)時，代入可得，解得，代入經(jīng)檢驗(yàn)可知，

滿足關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素，

當(dāng)時，則，解得，

再代入方程可解得，代入經(jīng)檢驗(yàn)可知，

滿足關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素，

綜上可知，或.

（2）若，對任意，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

由題意可知，

化簡可得，即，所以，

令

，

當(dāng)時，，當(dāng)時，

，設(shè)，

設(shè)，

，

，

所以在是增函數(shù)，，

，

則的取值范圍為.