Question

3．定義函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，f（x）=x²-2x（x-a）•g（x-a）．
（1）若f（2）=0，求實數(shù)a的值；
（2）解關(guān)于實數(shù)a的不等式f（1）≤f（0）；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數(shù)，分類討論，求出實數(shù)a的值；
（2）f（1）=1-2（1-a）g（1-a），f（0）=0，分類討論，解關(guān)于實數(shù)a的不等式f（1）≤f（0）；
（3）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2ax，x≥a\\ 3{x^2}-2ax，x＜a\end{array}\right.$，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2x（x-a）•g（x-a），∴f（2）=4-4（2-a）g（2-a），
當a≤2時，f（2）=4-4（2-a）=0，∴a=1，…（2分）
當a＞2時，f（2）=4+4（2-a）=0，∴a=3．…（4分）
（2）∵f（x）=x²-2x（x-a）•g（x-a），
∴f（1）=1-2（1-a）g（1-a），f（0）=0，
當a≤1時，∴f（1）=2a-1≤0，∴$a≤\frac{1}{2}$，…（6分）
當a＞1時，∴f（1）=-2a+3≤0，∴$a≥\frac{3}{2}$，…（8分）
∴$a≤\frac{1}{2}$或$a≥\frac{3}{2}$．…（9分）
（3）∵f（x）=x²-2x（x-a）•g（x-a），
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2ax，x≥a\\ 3{x^2}-2ax，x＜a\end{array}\right.$，
當a＞0時，$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{3}≤1\\ a≥2\end{array}\right.$，∴2≤a≤3，…（11分）
當a=0時，不合題意，…（13分）
當a＜0時，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，不合題意，…（15分）
∴2≤a≤3．…（16分）

點評 本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．