Question

21.設(shè)橢圓+y²=1的兩個焦點是F₁（－c,0）與F₂（c,0）（c＞0）,且橢圓上存在點P,使得直線PF₁與直線PF₂垂直.

（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍;

（Ⅱ）設(shè)L是相應于焦點F₂的準線,直線PF₂與L相交于點Q.若=2－.求直線PF₂的方程.

Answer 1

21.本小題主要考查直線和橢圓的基本知識,以及綜合分析和解題能力.

解：（Ⅰ）由題設(shè)有m＞0,c=,

設(shè)點P的坐標為（x₀,y₀）,由PF₁⊥PF₂,得=－1,

化簡得x₀²+y=m.                                                      ①

將①與+y₀²=1聯(lián)立,解得x₀²=,y₀²=.

由m＞0,x₀²=≥0,得m≥1.

所以m的取值范圍是m≥1.

（Ⅱ）準線L的方程為x=.設(shè)點Q的坐標為（x₁,y₁）,則x₁=.

==.                                     ②

將x₀=代入②,

化簡得==m+.

由題設(shè)=2－,

得m+=2－，無解.

將x₀=－代入②,

化簡得==m－.

由題設(shè)=2－,得m－=2－.

解得m=2.

從而x₀=－,y₀=±,c=,

得到PF₂的方程為y=±（－2）（x－）.