Question

14．函數(shù)f（x）=x³-$\frac{a}{2}$x²-2a²x+$\frac{3}{2}$的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則a的取值范圍是（-∞，-$\frac{9\sqrt{11}}{22}$）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象所在的象限，從而求出a的范圍．

解答 解：f′（x）=（3x+2a）（x-a），令f′（x）=0得：x=-$\frac{2a}{3}$，x=a，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，a）和（-$\frac{2}{3}$a，+∞）上是增函數(shù)，在（a，-$\frac{2}{3}$a）上是減函數(shù)，
因?yàn)閒（0）=$\frac{3}{2}$＞0，所以f（x）必過(guò)一、二、三象限，故只要f（x）極小值小于0即可．
f（-$\frac{2}{3}$a）＜0的解為：a＜-$\frac{9\sqrt{11}}{22}$，
同理，當(dāng)a＞0時(shí)，f（a）＜0得：a＞1．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-$\frac{9\sqrt{11}}{22}$）∪（1，+∞），
故答案為：（-∞，-$\frac{9\sqrt{11}}{22}$）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察分類討論思想，是一道中檔題．