Question

8．已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列．
（1）求角B的大�。�
（2）如果b=2，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得2bcosB=acosC+ccosA，利用正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，化簡解得cosB=$\frac{1}{2}$，即可結(jié)合范圍求B．
（2）由余弦定理可得：4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac．（當(dāng)且僅當(dāng)a=c成立），結(jié)合三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）∵acosC、bcosB、ccosA成等差數(shù)列，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
∴2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=60°．
（2）∵b=2，B=60°．
∴由余弦定理可得：4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac．（當(dāng)且僅當(dāng)a=c成立），
∴△ABC的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．