Question

若F₁、F₂分別為雙曲線-=1的下、上焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的下支上，點(diǎn)M在上準(zhǔn)線上，且滿足=，=λ(+)(λ＞0).

(1)求此雙曲線的離心率；

(2)若此雙曲線過N(,2)，求此雙曲線的方程；

(3)若過N(,2)的雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別為B₁、B₂(B₂在x軸正半軸上)，點(diǎn)A、B在雙曲線上，且=μ，求⊥時(shí)直線AB的方程.

Answer 1

解：(1) ==,∴PF₁OM為平行四邊形.

    又=λ(+)知M在∠PF₁O的角平分線上，

    ∴四邊形PF₁OM為菱形，且邊長為||=||=c.

    ∴||=2a+||=2a+c.

    由第二定義知=e,即=e.

    ∴+1=e且e＞1e=2.

    (2)由e=2，∴c=2a,即b²=3a².

    雙曲線方程為-=1.

    又(3,2)在雙曲線上，∴-=1.

    ∴a²=3.∴雙曲線方程為-=1.

    (3)由=μ知AB過點(diǎn)B₂，若AB⊥x軸，即l_AB:x=3，此時(shí)AB₁與BB₁不垂直.

    設(shè)直線AB的方程為y=kx-3k,代入-=1,得(3k²-1)x²-18k²x+27k²-9=0.

    由題知3k²-1≠0且Δ＞0，即k²＞且k²≠.

    設(shè)交點(diǎn)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),=(x₁+3,y₁),=(x₂+3,y₂).

    ∵⊥,∴·=0,即x₁x₂+3(x₁+x₂)+9+y₁y₂=0.

    此時(shí)

    y₁·y₂=k²(x₁-3)(x₂-3)

    =k²［x₁x₂-3(x₁+x₂)+9］

    =k²(18-)=.

    ∴9+3+9+=0.

    ∴5k²=1.∴k=±.

    ∴直線AB的方程為y=x-或y=-x+.