Question

命題p：一次函數y=（a-1）x+2在R上為減函數；命題q：關于x的不等式ax²＜ax-1的解集是Ø．
（1）若命題q為真命題，試求a的取值范圍；
（2）若“p且q”為真命題，試求a的取值范圍；
（3）若“p或q”為真命題，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由一次函數y=（a-1）x+2在R上為減函數可得即P：a＜1；由不等式ax²＜ax-1的解集是Ø．可得ax²-ax+1≥0恒成立，結合二次函數的性質可得q：0≤a≤4
（1）若命題q為真命題，可求
（2）若“p且q”為真命題，則命題p，q都為真命題
（3）若“p或q”為真命題，則p，q至少一個為真命題，其對立事件是p，q都為假命題，從而可求
解答：解：∵一次函數y=（a-1）x+2在R上為減函數
∴a-1＜0 即P：a＜1
∵關于x的不等式ax²＜ax-1的解集是Ø．
∴ax²-ax+1≥0恒成立
（i）當a=0時，1≥0恒成立，符合題意
（ii）當a≠0時，解可得，0＜a≤4
綜上可得，0≤a≤4
即q：0≤a≤4
（1）若命題q為真命題，則0≤a≤4
（2）若“p且q”為真命題，則命題p，q都為真命題
∴
∴0≤a＜1
（3）若“p或q”為真命題，則p，q至少一個為真命題
而當p，q都為假命題時，，即a＞4
∴當p或q為真時，a≤4
點評：本題主要考查了一次函數的單調性與系數的關系，二次函數的恒成立的求解及復合命題的真假判斷的應用．要注意（3）中利用對立事件求解