Question

如圖，三角形ABC中，AC＝BC＝，ABED是邊長為a的正方形，平面ABED⊥底面ABC，且，若G、F分別是EC、BD的中點，

(Ⅰ)求證：GF//底面ABC；

(Ⅱ)求證：平面EBC⊥平面ACD；

(Ⅲ)求幾何體ADEBC的體積V．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)證法一：取BE的中點H，連結(jié)HF、GH，(如圖1) 　　∵G、F分別是EC和BD的中點 　　∴HG∥BC，HF∥DE，　2分 　　又∵ADEB為正方形；∴DE//AB，從而HF//AB 　　∴HF//平面ABC，HG//平面ABC 　　∴平面HGF//平面ABC 　　∴GF∥平面ABC　5分 　　證法二：取BC的中點M，AB的中點N連結(jié)GM、FN、MN(如圖2) 　　∵G、F分別是EC和BD的中點 　　∴　2分 　　又∵ADEB為正方形；∴BE//AD，BE＝AD 　　∴GM//NF且GM＝NF 　　∴MNFG為平行四邊形 　　∴GF∥MN，又， 　　∴GF//平面ABC　5分 　　(Ⅱ)∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB 　　又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC　7分 　　∴BE⊥AC；又∵CA2＋CB2＝AB2 　　∴AC⊥BC；∴AC⊥平面BCE 　　從而平面EBC⊥平面ACD　9分 　　(Ⅲ)連結(jié)CN，因為AC＝BC，所以CN⊥AB，且 　　又平面ABED⊥平面ABC， 　　所以CN⊥平面ABED． 　　∵C－ABED是四棱錐 　　∴VC－ABED＝　14分(用向量法一樣給分)