Question

已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合與在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為.

（1）若△AOB是邊長(zhǎng)為的正三角形，求拋物線的方程；

（2）若，求橢圓的離心率；

（3）點(diǎn)為橢圓上的任一點(diǎn)，若直線、分別與軸交于點(diǎn)和，證明：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）證明過程詳見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）由△AOB是邊長(zhǎng)為的正三角形得到,代入拋物線方程中，可以得到所求拋物線方程為；（2）由可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，因此可結(jié)合建立關(guān)于的方程為：，解出；（3）利用設(shè)而不求的思想，可先設(shè)三點(diǎn)后代入橢圓方程中，由于的方程為，求出，，那么化簡(jiǎn)后得到：.

試題解析：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，依題意得拋物線的方程為

∵△是邊長(zhǎng)為的正三角形，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，

代入拋物線的方程解得，

故所求拋物線的方程為

（2）∵, ∴ 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

代入橢圓方程解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)是

∵ 點(diǎn)在拋物線上，

∴，

將代入上式整理得：，

即，解得

∵ ，故所求橢圓的離心率.

（3）證明：設(shè)，代入橢圓方程得

而直線的方程為

令得.

在中，以代換得

∴ .

考點(diǎn)：圓錐曲線；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.