Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點B（1，0）圓A：（x+1）²+y²=16，動點P在圓A上，線段BP的垂直平分線AP相交點Q，設(shè)動點Q的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點D（3，0）作直線l，直線l依次交曲線C于不同兩點E、F，設(shè)

DE

=λ

DF

，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，所以|AQ|+|QB|=|AQ|+|QP|=|AP|=4＞|AB|，利用橢圓的定義，可求點求曲線C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出λ+

1

λ

，即可求實數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，所以|AQ|+|QB|=|AQ|+|QP|=|AP|=4＞|AB|，
所以點Q的軌跡是以A，B為焦點，長軸為4的橢圓，2a=4，2c=2，
所以a=2，c=1，所以b=

3

，
所以Q點的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1；   
（Ⅱ）若直線l為y=0，則E（2，0），F(xiàn)（-2，0），

DE

=（-1，0），

DF

=（-5，0），
∵

DE

=λ

DF

，
∴λ=

1

5

；
若直線l：x=my+3，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
直線代入橢圓方程得（3x²+4）y+18my+15=0，
由△＞0可得m²＞

5

3

，
由韋達(dá)定理可得y₁+y₂=-

18m

3m2+4

，y₁y₂=-

15

3m2+4

，
∵

DE

=λ

DF

，
∴λ=

y1

y2

，
∴λ+

1

λ

=

(y1+y2)2

y1y2

-2=

108m2

5(3m2+4)

-2=

26

5

-

144

15m2+20

，
∴2＜λ+

1

λ

＜

26

5

，
∴

1

5

＜λ＜1，
綜上所述，實數(shù)λ的取值范圍是[

1

5

，1）．

點評：本題考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．