Question

（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分．

已知長方體，，點(diǎn)M是棱的中點(diǎn)．

（1）試用反證法證明直線是異面直線；

（2）求直線所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

略

解析:

證明  (1)(反證法)假設(shè)直線與不是異面直線. ……………………………1分

設(shè)直線與都在平面上，則.………………………3分

因此，有不共線的三個公共點(diǎn)，即

重合).又長方體的相鄰兩個面不重合，這是矛盾，于是，假設(shè)不成立. …………………………………………………………6分

　　所以直線與是異面直線. 　　　　　　　　　　   …………………7分

解  (2)按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為D(0，0，0)、

A(4，0，0)、B(4，2，0)，C(0，2，0)，(4，0，4)，(4，2，4)，(0，2，4)，

(0，0，4)．于是，M(0，1，4)，…9分

　　設(shè)平面的法向量為，則

，即．取．   …   11分

　　所以平面的一個法向量為．

記直線為，于是，

，．  ………………………13分

　　所以，直線為＝．…………………14分