Question

9．若a，b∈R₊，且a+b=1，求證：$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2．要求用兩種方法證明：（1）分析法；（2）綜合法．

Answer 1

分析 （1）把證明不等式轉(zhuǎn)化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止；（2）根據(jù)分析法，可得綜合法．

解答 證明：（分析法）要證明$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2，
只要證明：a+b+1+2$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤4，
∵a+b=1，
只要證明：$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤1，
∵$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤$\frac{a+\frac{1}{2}+b+\frac{1}{2}}{2}$=1，
∴$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤1，成立，
∴$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2；
（綜合法）∵a，b∈R₊，且a+b=1，
∴$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤$\frac{a+\frac{1}{2}+b+\frac{1}{2}}{2}$=1，
∴a+b+1+2$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤4，
∴$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用綜合法（由因?qū)Ч�）證明不等式、分析法證（執(zhí)果索因）明不等式，屬于中檔題．