Question

已知冪函數(shù),且在上單調(diào)遞增.

(1)求實(shí)數(shù)的值,并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式;

(2)若在區(qū)間上不單調(diào),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)試判斷是否存在正數(shù),使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100923373289547023/SYS201310092338089009982558_ST.files/image011.png">若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) 或, (2)  (3)

【解析】

試題分析：(1)由題意知,解得:.   2分

又 ∴或,   3分

分別代入原函數(shù),得.   4分

(2)由已知得.   5分

要使函數(shù)不單調(diào)，則，則.   8分

(3)由已知,.    9分

法一:假設(shè)存在這樣的正數(shù)符合題意,

則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線,其對稱軸為,

因而,函數(shù)在上的最小值只能在或處取得,

又,

從而必有,解得.

此時,,其對稱軸,

∴在上的最大值為,符合題意.

∴存在,使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100923373289547023/SYS201310092338089009982558_DA.files/image024.png">14分法二:假設(shè)存在這樣的正數(shù)符合題意,

由(1)知,

則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線,其對稱軸為,

考點(diǎn)：冪函數(shù)及二次函數(shù)單調(diào)性最值

點(diǎn)評：第二問中二次函數(shù)不單調(diào)需滿足對稱軸在給定區(qū)間內(nèi)，第三問關(guān)于最值的考查需注意對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系，從而確定給定區(qū)間上的單調(diào)性得到最值，一般求解時都要分情況討論