Question

2．若關于x的方程log₂x+1=2log₂（x-a）恰有一個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是a≥0或a=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先化簡log₂x+1=2log₂（x-a），可得log₂2x=2log₂（x-a），所以$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x-a＞0\\ x-a=\sqrt{2x}\end{array}\right.$；然后根據(jù)關于x的二元一次方程恰有一個實數(shù)解，可得直線y=x-a與曲線y=$\sqrt{2x}$在平面直角坐標系中有且只有一個交點，分別畫出直線y=x-a與曲線y=$\sqrt{2x}$的圖象，判斷出a的取值范圍即可

解答 解：由log₂x+1=2log₂（x-a），
可得log₂2x=2log₂（x-a），
所以$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x-a＞0\\ x-a=\sqrt{2x}\end{array}\right.$；
因為關于x的二元一次方程恰有一個實數(shù)解，
所以直線y=x-a與曲線y=$\sqrt{2x}$在平面直角坐標系中有且只有一個交點，
①當直線y=x-a與曲線y=$\sqrt{2x}$相切時，
由x-a=$\sqrt{2x}$，可得x²-2（a+1）x+a²=0，
△=0，可得4（a+1）²-4a²=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$；
②根據(jù)圖象，可得當-a≤0，即a≥0時，直線y=x-a與曲線y=$\sqrt{2x}$恒有一個交點，
綜上，a的取值范圍為：a≥0或a=-$\frac{1}{2}$．
故答案為：a≥0或a=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了根的存在性以及根的個數(shù)的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的運用，屬于中檔題，解答此題的關鍵是分析出直線y=x-a與曲線y=$\sqrt{2x}$在平面直角坐標系中有且只有一個交點，并分別畫出它們的圖象．