Question

如圖，橢圓Q：（a>b>0）的右焦點(diǎn)F（c，0），過點(diǎn)F的一動直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)

（1）  求點(diǎn)P的軌跡H的方程

（2）  在Q的方程中，令a²＝1＋cosq＋sinq，b²＝sinq（0<q£），確定q的值，使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)，此時，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動到什么位置時，三角形ABD的面積最大？

Answer 1

解：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（a>b>0）

上的點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則

1°當(dāng)AB不垂直x軸時，x₁¹x₂，

由（1）－（2）得

b²（x₁－x₂）2x＋a²（y₁－y₂）2y＝0

  

b²x²＋a²y²－b²cx＝0…………（3）

2°當(dāng)AB垂直于x軸時，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）

故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b²x²＋a²y²－b²cx＝0

（2）因?yàn)椋瑱E圓Q右準(zhǔn)線l方程是x＝，原點(diǎn)距l的距離為，

由于c²＝a²－b²，a²＝1＋cosq＋sinq，b²＝sinq（0<q£）

則＝＝2sin（）

當(dāng)q＝時，上式達(dá)到最大值。此時a²＝2，b²＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1

設(shè)橢圓Q：上的點(diǎn) A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），三角形ABD的面積

S＝|y₁|＋|y₂|＝|y₁－y₂|

設(shè)直線m的方程為x＝ky＋1，代入中，得（2＋k²）y²＋2ky－1＝0

由韋達(dá)定理得y₁＋y₂＝，y₁y₂＝，

4S²＝（y₁－y₂）²＝（y₁＋y₂）²－4 y₁y₂＝

令t＝k²＋1³1，得4S²＝，當(dāng)t＝1，k＝0時取等號。

因此，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大。