Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為（0，1），點(diǎn)P（0，m）（m≠0）．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P且斜率為1的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q，若m＜0，求使得△QAB面積最大的m的值；
（3）設(shè)過P點(diǎn)的直線交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得

1

|PM|

+

1

|PN|

為定值？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線C的方程是x²=ay，根據(jù)焦點(diǎn)為F的坐標(biāo)求得a，進(jìn)而可得拋物線的方程．
（2）y=x+m代入x²=4y，得x²-4x-4m=0，|AB|=

2

|x2-x1|  =4

2(1+m)

，S△QAB=-4m

m+1

=4

m3+m2

(m＜0)，由此知當(dāng)m=-

2

3

時(shí)，S_△QAB有最大值．
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，代入方程，得x²-4kx-4m=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△＞0，k²+m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，由此能夠推導(dǎo)出m=1時(shí)，

1

|PM|

+

1

|PN|

為定值，存在點(diǎn)P（0，1）．

解答：解：（1）設(shè)拋物線C的方程是x²=ay，
則

a

4

=1，
即a=4．
故所求拋物線C的方程為x²=4y．
（2）y=x+m代入x²=4y，得
x²-4x-4m=0，
|AB|=

2

|x2-x1|  =4

2(1+m)

，
∴S△QAB=-4m

m+1

=4

m3+m2

(m＜0)

m	m＜- 2 3	- 2 3	- 2 3 ＜m＜0
3m2+2m	+	0	-

∴當(dāng)m=-

2

3

時(shí)，S_△QAB有最大值．
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，
代入方程，得x²-4kx-4m=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△＞0，k²+m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
①當(dāng)m＜0時(shí)，

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

1+k2

（

1

|x1|

+

1

|x2|

）=

|4k|

-4m 1+k2

不是定值．
②當(dāng)m＞0時(shí)，

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

1+k2

|x1-x2|

|x1x2|

=

|x1-x2|

|x1x2|

=

m+k2

m 1+k2

，
在上式中，令k=0，1，得

m

= 

m+1 2

，m=1，
∴m=1時(shí)，

1

|PM|

+

1

|PN|

為定值，
存在點(diǎn)P（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．