Question

(本小題滿分14分)

已知點是橢圓的右焦點，點、分別是軸、軸上的動點，且滿足．若點滿足．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設(shè)過點任作一直線與點的軌跡交于、兩點，直線、與直線分別交于點、（為坐標(biāo)原點），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）橢圓右焦點的坐標(biāo)為，………………1分

．

，

由，得．                 …………………………3分

設(shè)點的坐標(biāo)為，由，有，

代入，得．           …………………………5分

（2）(法一)設(shè)直線的方程為，、，

則，．                ………………………………6分

由，得， 同理得．…………………………8分

，，則．  ………9分

由，得，．   ……………………11分

則．           …………………………13分

因此，的值是定值，且定值為．         …………………………………14分

 (法二)①當(dāng)時， 、，則，   ．

由 得點的坐標(biāo)為，則．

由 得點的坐標(biāo)為，則．

．  ………………………………………7分

②當(dāng)不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，、，同解法一，得．   …………………………………10分

由，得，．……………………11分

則．           …………………………13分

因此，的值是定值，且定值為．         …………………………………14分

【說明】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、向量、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．