Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條經(jīng)過點(diǎn)且方向向量為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且．

（1）求直線的方程；

（2）求橢圓長軸長的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）直線過點(diǎn)且方向向量為

∴，方程為，

化簡為：

∴直線的方程為

（2）設(shè)直線和橢圓交于兩點(diǎn)，和軸交于，由，知，

將代入中，得……①

由韋達(dá)定理知：

由②²/③知：，化為　　……④

∵，

化簡，得，即，

∴，注意到，解得

又橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則，

由④知：，結(jié)合，求得．

因此所求橢圓長軸長范圍為．

考點(diǎn)：本題主要考查直線的方向向量，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，簡單不等式解法。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及橢圓與直線位置關(guān)系問題，往往利用韋達(dá)定理。本題借助于韋達(dá)定理，建立方程組后，整理得到，進(jìn)一步利用求得a的范圍。