Question

以下四個(gè)命題：
①平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；
②拋物線y=ax²的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是

|a|

4

；
③直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=x₁+x₂+p；
④正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長為4

3

p．其中正確命題的序號(hào)是

④

．

Answer 1

分析：對(duì)于①當(dāng)定點(diǎn)F正好在定直線l上時(shí)，平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡不是拋物線；
②先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得焦點(diǎn)坐標(biāo)．
③只有當(dāng)直線l是過拋物線焦點(diǎn)的直線時(shí)，直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=x₁+x₂+p才成立；
④設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （

m2

2p

， m），（

m2

2p

， -m），由 tan30°=

m

m2 2p

，解得 m的值．

解答：解：①當(dāng)定點(diǎn)F正好在定直線l上時(shí)，平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡不是拋物線；故錯(cuò)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，整理拋物線方程得x²=

1

a

y，p=

1

2a

∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (0，

1

4a

)，拋物線y=ax²的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是

1

4|a|

；故錯(cuò)；
③當(dāng)直線l不是過拋物線焦點(diǎn)的直線時(shí)，直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=x₁+x₂+p不成立，故③錯(cuò)；
④設(shè)正三角形另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （

m2

2p

， m），（

m2

2p

， -m），由 tan30°=

3

3

=

m

m2 2p

，
解得 m=2

3

p，故這個(gè)正三角形的邊長為  2m=4

3

p，
故正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長為4

3

p正確．
其中正確命題的序號(hào)是 ④．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵．④直角三角形中的邊角關(guān)系，設(shè)出另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，是解題的突破口．