Question

19．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁C∥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）連AC，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連EO，則A₁C∥EO，由此能證明A₁C∥平面BDE．
（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E-BD-A的平面角，由此能求出二面角E-BD-A的正切值．

解答 證明：（1）連AC，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連EO
∵E是AA₁的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，∴A₁C∥EO，
又EO?面BDE，AA₁?面BDE，所以A₁C∥平面BDE．…（6分）
解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，
∴∠AOE是二面角E-BD-A的平面角，
在Rt△AOE中，tan∠AOE=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴二面角E-BD-A的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．