Question

（本小題滿分14分）如圖，菱形的邊長為，，.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點是棱的中點，.

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求證：平面，這是證明線面平行問題，證明線面平行，即證線線平行，可利用三角形的中位線，或平行四邊形的對邊平行，本題注意到是的中點，點是棱的中點，因此由三角形的中位線可得，，從而可得平面；（2）求三棱錐的體積，由已知，由題意,可得，從而得平面，即平面，因此把求三棱錐的體積，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積，因為高，求出的面積即可求出三棱錐的體積.

試題解析：（１）證明：因為點是菱形的對角線的交點，

所以是的中點.又點是棱的中點，

所以是的中位線，. 2分

因為平面,平面， 4分

所以平面. 6分

（２）三棱錐的體積等于三棱錐的體積. 7分

由題意，,

因為,所以，. 8分

又因為菱形，所以. 9分

因為,所以平面，即平面 10分

所以為三棱錐的高. 11分

的面積為， 13分

所求體積等于. 14分

考點：線面平行的判定，幾何體的體積.