Question

16．若已知f（e^x+$\frac{1}{e}$）=e^2x+$\frac{1}{{e}^{2x}}$，關于x的不等式f（x）+m$\sqrt{f（x）+2}$≥0恒成立，則實數m的取值范圍是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 利用換元法求解出f（x）的解析式，求出f（x）的值域，帶入不等式f（x）+m$\sqrt{f（x）+2}$≥0恒成立，再實數m的取值范圍．

解答 解：由題意f（e^x+$\frac{1}{e}$）=e^2x+$\frac{1}{{e}^{2x}}$=（e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$）²-2，
令e^x+$\frac{1}{e}$=t，（t$＞\frac{1}{e}$），則g（t）=（t$-\frac{1}{e}$）²+$\frac{1}{（t-\frac{1}{e}）^{2}}$
∴f（x）的解析式為：f（x）=（x$-\frac{1}{e}$）²+$\frac{1}{（x-\frac{1}{e}）^{2}}$，（t$＞\frac{1}{e}$），
∴f（x）∈[2，+∞）
∴不等式f（x）+m$\sqrt{f（x）+2}$≥0轉化為：f（x）≥-m$\sqrt{f（x）+2}$恒成立，
∵f（x）_min=2，
∴2≥-m$\sqrt{2+2}$即可恒成立．
解得：m≥-1．
實數m的取值范圍是[-1，+∞）．
故答案為：[-1，+∞）．

點評 本題考查了解析式的求法和值域的求法，恒成立的問題轉化為最值的問題．屬于中檔題．