Question

已知函數(shù)的周期為，圖象的一個(gè)對稱中心為，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象。
（Ⅰ）求函數(shù)與的解析式
（Ⅱ）是否存在，使得按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）存在（Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)

（Ⅰ）由函數(shù)的周期為，，得
又曲線的一個(gè)對稱中心為，
故，得，所以
將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）后可得的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
所以
問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解
設(shè)，
則
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015513381729.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，在內(nèi)單調(diào)遞增
又，
且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，
即存在唯一的滿足題意
（Ⅲ）依題意，，令
當(dāng)，即時(shí)，，從而不是方程的解，所以方程等價(jià)于關(guān)于的方程，
現(xiàn)研究時(shí)方程解的情況
令，
則問題轉(zhuǎn)化為研究直線與曲線在的交點(diǎn)情況
，令，得或
當(dāng)變化時(shí)，和變化情況如下表
當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于
當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于
當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于
當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于
故當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有無交點(diǎn)，在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)無交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)
由函數(shù)的周期性，可知當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)，使得直線與曲線在內(nèi)恰有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，由周期性，，所以
綜上，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)
三角函數(shù)解析式的確定相對而言應(yīng)該比較容易，也就是說即使是20題的第一問往往難度也不會太大，而我們同學(xué)可能因?yàn)闀r(shí)間的關(guān)系而丟掉了撿分的機(jī)會，所以建議大家可以先試看看此問是否熟悉，再做整體規(guī)劃。三角函數(shù)的圖像變換要千萬注意左右平移只對x而言。而第二問對于是否等比的轉(zhuǎn)化是處理的關(guān)鍵，所以函數(shù)思想無處不在，要善于運(yùn)用。第三問從特殊到一般的思想是此問的靈魂，而此法的選擇也因?yàn)閰��?shù)分離后三角函數(shù)的周期性，所以萬物皆有聯(lián)系，只是平時(shí)要練就一雙慧眼就不簡單了。
【考點(diǎn)定位】 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、恒等變換、圖像以及函數(shù)的零點(diǎn)。將函數(shù)的所有性質(zhì)依托于三角函數(shù)展示，并且對多方面能力的綜合考查。屬于難題，但第一問是送給學(xué)生的。