Question

【題目】如圖，設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)（點(diǎn)位于第一象限），并與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連結(jié)．

（1）證明：為等腰三角形；

（2）求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程，由垂直關(guān)系寫(xiě)出法線(xiàn)方程，得到點(diǎn)Q坐標(biāo)，由拋物線(xiàn)定義得到；

（2）先求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再求與的表達(dá)式，利用直角三角形得到面積的函數(shù)關(guān)系，再求最大值．

（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為且，

因?yàn)橹本�(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切，求導(dǎo)得，即，

所以直線(xiàn)l的方程為：，

得直線(xiàn)m的方程為：，即，

因?yàn)?/span>，即，

而，

所以得，即為等腰三角形．

（或者求出切線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，可證點(diǎn)F為直角三角形斜邊的中點(diǎn)，同樣可證）

（2）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)為，得，

所以，

聯(lián)立方程組，得，

因?yàn)?/span>，，即，

所以，

得面積為，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值4．