Question

7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BA，CD的延長線相交于點E，EF∥DA，并與CB的延長線交于點F，F(xiàn)G切⊙O于G．
（1）求證：BE•EF=CE•BF；
（2）求證：FE=FG．

Answer 1

分析 （1）圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，判斷△CFE∽△EFB，線段對應(yīng)成比例，從而證得式子成立．
（2）根據(jù) CFE∽△EFB，可得BE•EF=CF•BF，在根據(jù)圓的切線性質(zhì)可得 FC²=FB•FC，從而證得結(jié)論成立．

解答 證明（1）∵EF∥DA，∴∠DAE=∠AEF，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DAE=∠C，∴∠C=∠AEF，
又∠CFE=∠EFB，∴△CFE∽△EFB，∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{CE}{BE}$，∴BE•EF=CF•BF．
（2）∵CFE∽△EFB，∴$\frac{EF}{FC}$=$\frac{EB}{EF}$，∴EF•EF=FB•FC，
∵FG切⊙O于G，∴FC²=FB•FC，∴EF•EF=FG²，∴FG=FE．

點評 本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．