Question

當(dāng)a取怎樣的值時，拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有且只有兩個公共點．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是拋物線與圓的綜合性質(zhì)，由由于拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有公共的對稱軸x軸故如果拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有且只有兩個公共點．則這兩個點的橫坐標(biāo)相等且大于0，聯(lián)立兩條曲線的方程組成方程組，然后利用韋達定理，即可給出答案．

解答：解：由于拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有公共的對稱軸x軸
故如果拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有且只有兩個公共點．
則這兩個點的橫坐標(biāo)相等且大于0
即聯(lián)立方程

y2=2x (x-a)2+y2=4

得：（x-a）²+2x=4有且只有一個正根時，滿足條件
∵△=20-8a
∴當(dāng)△=0，此時a=

5

2

，x=

3

2

，滿足要求
當(dāng)△＞0，a＜

5

2

，此時a²-4＜0
解得2＜a＜

5

2

綜上，滿足條件的a的取值范圍為：2＜a≤

5

2

點評：曲線與曲線交點的個數(shù)一般可以由聯(lián)系曲線方程得到的方程組解的個數(shù)來決定，但要注意，如果像本題一樣，交點是對稱的，我們要根據(jù)曲線的性質(zhì)，進行分析后，才能進一步求解．