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【題目】如圖，已知正四棱柱中，底面邊長，側棱的長為4，過點作的垂線交側棱于點，交于點．

（1）求證： ⊥平面；

（2）求二面角的余弦值。

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）因為是正四棱柱，所以可證得，同理可得，即得證平面

（2）以DA、DC、分別為軸，建立直角坐標系，由，找出兩個面的法向量，代入公式即得解.

試題解析：

（1）連接AC，因為是正四棱柱，

所以

同理可得

又因為,所以平面．

（2）解法一：以DA、DC、分別為軸，建立直角坐標系，設則

，由

設面DBE的法向量為.由

由令得：

設平面的法向量為.由，由

令得：設與所成的角為，

則值

由題意：二面角為銳角，二面角的余弦值為

解法二：連AC交BD于O，可證是二面角的平面角

二面角的余弦值為

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