Question

20．已知關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-m|≥2m的解集為R．
（Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a²+9b²+c²的最小值及此時(shí)a，b，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用|x-3|+|x-m|≥|（x-3）-（x-m）|=|m-3|，對(duì)x與m的范圍討論即可．
（Ⅱ）構(gòu)造柯西不等式即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵|x-3|+|x-m|≥|（x-3）-（x-m）|=|m-3|
當(dāng)3≤x≤m，或m≤x≤3時(shí)取等號(hào)，
令|m-3|≥2m，
∴m-3≥2m，或m-3≤-2m．
解得：m≤-3，或m≤1
∴m的最大值為1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=1．
由柯西不等式：（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+1）（ 4a²+9b²+c²）≥（a+b+c）²=1，
∴4a²+9b²+c²≥$\frac{36}{49}$，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)4a=9b=c，且a+b+c=1時(shí)成立．
即當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{9}{49}$，b=$\frac{4}{49}$，c=$\frac{36}{49}$時(shí)，4a²+9b²+c²的最小值為$\frac{36}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了絕對(duì)值不等式的幾何意義和解法以及柯西不等式的構(gòu)造思想．屬于中檔題．