Question

如圖，四棱錐中，.,F為PC的中點(diǎn)，.

（1）求的長(zhǎng)：

（2）求二面角的正弦值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，等腰三角形BCD中利用“三線合一”證出AC⊥BD，因此分別以O(shè)B、OC分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．結(jié)合題意算出A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P（0，-3，z），根據(jù)F為PC邊的中點(diǎn)且AF⊥PB，算出z=，從而得到，可得PA的長(zhǎng)為；

（2）由（1）的計(jì)算，得的坐標(biāo)．利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出和分別為平面FAD、平面FAB的法向量，利用空間向量的夾角公式算出夾角的余弦，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可算出二面角B-AF-D的正弦值．

試題解析：【解析】
如圖建立空間坐標(biāo)系

（2）設(shè)面AFD的法向量，設(shè)面ABF的法向量

考點(diǎn)：1.用空間向量求平面間的夾角；2.點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；3.二面角的平面角及求法．