Question

6．已知函數(shù)f（x）=（x²-a）²+（x²-a），x∈[$\frac{1}{4}$，4]
（1）求f（x）的最大值；
（2）若關于x的方程f（x）=2a²有解．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=x²-a，則f（x）可看作關于t的二次函數(shù)，并根據(jù)x的范圍求出t的范圍，再利用二次函數(shù)求最值的方法求出f（x）的最小值；
（2）關于x的方程f（x）=2a²有解，即方程t²+t-2a²=0在[$\frac{1}{16}$-a，16-a]上有解，通過（1）求出最值，解不等式可求出a的范圍．

解答 解：（1）令t═x²-a，則當x∈[$\frac{1}{4}$，4]時，t關于x的函數(shù)是單調遞增，
∴t∈[$\frac{1}{16}$-a，16-a]，此時f（x）=t²+t=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
當16-a≤-$\frac{1}{2}$，即a≥$\frac{33}{2}$時，區(qū)間[$\frac{1}{16}$-a，16-a]為遞減區(qū)間，
f（x）_max=f（$\frac{1}{16}$-a）=（$\frac{9}{16}$-a）²-$\frac{1}{4}$；
當$\frac{1}{16}$-a＜-$\frac{1}{2}$＜16-a，即$\frac{9}{8}$＜a＜$\frac{33}{2}$時，f（x）_max=（$\frac{9}{16}$-a）²-$\frac{1}{4}$或（$\frac{33}{2}$-a）²-$\frac{1}{4}$；
當$\frac{1}{16}$-a≥-$\frac{1}{2}$，即a≤$\frac{9}{8}$時，區(qū)間[$\frac{1}{16}$-a，16-a]為遞增區(qū)間，
f（x）_max=f（16-a）=（$\frac{33}{2}$-a）²-$\frac{1}{4}$；
（2）方程f（x）=2a²有解，即方程t²+t=2a²在[$\frac{1}{16}$-a，16-a]上有解，
當16-a≤-$\frac{1}{2}$，即a≥$\frac{33}{2}$時，（$\frac{33}{2}$-a）²-$\frac{1}{4}$≤2a²≤（$\frac{9}{16}$-a）²-$\frac{1}{4}$，
解得$\frac{1}{16}$≤a≤$\frac{17}{16}$，即有a∈∅；
當$\frac{1}{16}$-a≥-$\frac{1}{2}$，即a≤$\frac{9}{8}$時，（$\frac{9}{16}$-a）²-$\frac{1}{4}$≤2a²≤（$\frac{33}{2}$-a）²-$\frac{1}{4}$，
解得$\frac{17}{16}$≤a≤17，即有$\frac{17}{16}$≤a≤$\frac{9}{8}$；
當$\frac{1}{16}$-a＜-$\frac{1}{2}$＜16-a，即$\frac{9}{8}$＜a＜$\frac{33}{2}$時，-$\frac{1}{4}$≤2a²≤（$\frac{9}{16}$-a）²-$\frac{1}{4}$
或-$\frac{1}{4}$≤2a²≤（$\frac{33}{2}$-a）²-$\frac{1}{4}$，解得$\frac{1}{16}$≤a≤$\frac{17}{16}$或16≤a≤17．
即有a∈∅．
則實數(shù)a的范圍是[$\frac{17}{16}$，$\frac{9}{8}$]．

點評 本題主要考查了可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和討論對稱軸和區(qū)間的關系，考查運算能力，屬于中檔題．