Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC= AA1 ， D是棱AA1的中點，DC1⊥BD．
（1）證明：DC1⊥面BCD；
（2）設(shè)AA1=2，求點B1到平面BDC1的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形．

由于D是棱AA1的中點，故DC=DC1．

又AC= AA1，可得DC2+DC12=CC12，所以△C1DC是直角三角形，

∴C1D⊥DC．

而DC1⊥BD，DC∩BD=D，

所以DC1⊥面BCD

（2）解：由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，則BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1兩兩垂直．

以C為坐標(biāo)原點， 的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．

由題意知B（0，1，0），D（1，0，1），C1（0，0，2），B1（0，1，2），

P（ ， ，2），

則 =（1，﹣1，1）， =（﹣1，0，1）， =（﹣ ，﹣ ，0），

=（0，﹣1，0）

設(shè) =（x，y，z）是平面BDC1的法向量，則

可取 =（1，2，1）．

設(shè)點B1到平面BDC1的距離為d，則d=| |= ．

【解析】（1）在矩形ACC1A1中，利用勾股定理證明C1D⊥DC，由DC1⊥BD，DC∩BD=D能證明DC1⊥平面BDC；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDC1的法向量，即可求點B1到平面BDC1的距離．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．