Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60，G為BC的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：FG||平面BED；

（Ⅱ）求證：平面BED⊥平面AED；

（Ⅲ）求直線(xiàn)EF與平面BED所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）詳見(jiàn)解析（Ⅲ）

【解析】

試題（Ⅰ）證明線(xiàn)面平行，一般利用線(xiàn)面平行判定定理，即從線(xiàn)線(xiàn)平行出發(fā)給予證明，而線(xiàn)線(xiàn)平行尋找與論證，往往結(jié)合平幾知識(shí)，如本題構(gòu)造一個(gè)平行四邊形：取的中點(diǎn)為，可證四邊形是平行四邊形，從而得出（Ⅱ）面面垂直的證明，一般轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面垂直，而線(xiàn)面垂直的證明，往往需多次利用線(xiàn)面垂直判定與性質(zhì)定理，而線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明有時(shí)需要利用平幾條件，如本題可由余弦定理解出，即（Ⅲ）求線(xiàn)面角，關(guān)鍵作出射影，即面的垂線(xiàn)，可利用面面垂直的性質(zhì)定理得到線(xiàn)面垂直，即面的垂線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，從而直線(xiàn)與平面所成角即為.再結(jié)合三角形可求得正弦值

試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)為，連接，在中，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)?/span>，所以且

，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）證明：在中，，由余弦定理可，進(jìn)而可得，即，又因?yàn)槠矫?/span>平面平面；平面平面，所以平面.又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（Ⅲ）解：因?yàn)?/span>，所以直線(xiàn)與平面所成角即為直線(xiàn)與平面所成角.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，又因?yàn)槠矫?/span>平面，由（Ⅱ）知平面，所以直線(xiàn)與平面所成角即為.在中，，由余弦定理可得，所以，因此，在中，，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為