Question

一個三棱柱的三視圖及直觀圖如圖所示，E，F，G分別是A₁B，B₁C₁，AA₁的中點，AA₁⊥底面ABC．
（1）求證：B₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）求證：EF∥平面ACC₁A₁；
（3）在BB₁上是否存在一點M，使得GM+MC的長最短．若存在，求出這個最短值，并指出點M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用直三棱柱的性質，只要證明B₁C垂直與平面A₁BC₁的兩條相交直線；
（2）連接A₁C，AC₁交于點O，連接OE，利用中位線的性質得到四邊形OEFG為平行四邊形，再由線面平行的判定定理可得；
（3）在BB₁上存在一點M，使得GM+MC的長最短．通過勾股定理求得．

解答： （1）證明：∵AA₁⊥平面ABC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AC，∵AC⊥BC，
∴AC⊥平面BCC 1B 1，…（2分）
∵AC∥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥平面BCC 1B 1，
∴A₁C₁⊥B₁C…（3分）
又B₁C⊥BC₁，A₁C₁∩BC₁=C₁，
∴B₁C⊥平面A₁BC₁…（5分）
（2）連接A₁C，AC₁交于點O，連接OE…（6分）
由題意可得，O為A₁C中點，
因為E為A₁B中點，∴OE∥

1

2

CB并且OE=

1

2

CB
因為F為C₁B₁的中點中點，∴C1F∥

1

2

CB，C1F=

1

2

CB
∴OE∥C₁F，OE=C₁F
∴四邊形OEFG為平行四邊形…（8分）
∴FE∥OC₁…（9分）
∵FE?平面ACC₁A₁，OC₁?平面ACC₁A₁，
∴FE∥平面ACC₁A₁…（10分）
（3）在BB₁上存在一點M，使得GM+MC的長最短，此時沿CC₁展開，時G，M，C在一條直線上．
最短值為GC=

(a+ 2 a)2+( a 2 )2

=

13+8 2

2

a
此時BM=

2 -1

2

a…（14分）

點評：本題考查了直三棱柱的性質、線面平行的判定定理以及線段最短問題，屬于中檔題．