Question

20．已知雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A₁、A₂，虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B₁、B₂，若在線(xiàn)段B₁F₂上，存在兩點(diǎn)M、N（點(diǎn)M、N異于B₁、F₂），使得∠A₁MA₂=∠A₁NA₂=90°，則雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍為$\sqrt{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)A₁（-a，0），A₂（a，0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），B₁（0，b），B₂（0，-b），可得直線(xiàn)B₁F₂的方程為$\frac{x}{c}$+$\frac{y}$=1，即bx+cy-bc=0，求得直線(xiàn)B₁F₂的方程，由直線(xiàn)和圓相交的條件：d＜r，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，可得e的范圍；再由a，b的關(guān)系，可得a＜b成立，即可得到所求離心率的范圍．

解答 解：設(shè)A₁（-a，0），A₂（a，0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
B₁（0，b），B₂（0，-b），
可得直線(xiàn)B₁F₂的方程為$\frac{x}{c}$+$\frac{y}$=1，即bx+cy-bc=0，
以A₁A₂為直徑的圓的方程為x²+y²=a²，
由題意可得A₁A₂為直徑的圓與線(xiàn)段B₁F₂相交，
首先滿(mǎn)足圓心O到直線(xiàn)B₁F₂的距離小于a，
即有$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$＜a，
即有b²c²＜a²b²+a²c²，
可得c⁴-3a²c²+a⁴＜0，
即有e⁴-3e²+1＜0，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
由e＞1，即有1＜e＜，
由a=b時(shí)，可得∠A₁BA₂=90°，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)a＞b時(shí)，即e＜$\sqrt{2}$，圓與線(xiàn)段只有一個(gè)交點(diǎn)；
a＜b時(shí)，即e＞$\sqrt{2}$，圓與線(xiàn)段有兩個(gè)交點(diǎn)．
綜上可得，e的范圍是：$\sqrt{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的范圍，注意線(xiàn)段和圓相交必須滿(mǎn)足的條件：d＜r，同時(shí)考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和特殊點(diǎn)的排除，屬于中檔題和易錯(cuò)題．