Question

11．已知角α終邊上一點P（-4，3）．
（Ⅰ）求$\frac{{cos（α-\frac{π}{2}）sin（2π-α）cos（π-α）}}{{sin（\frac{π}{2}+α）}}$的值；
（Ⅱ）若β為第三象限角，且tanβ=1，求cos（2α-β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用任意角的三角函數(shù)定義，求出角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)值，利用誘導(dǎo)公式化簡$\frac{{cos（α-\frac{π}{2}）sin（2π-α）cos（π-α）}}{{sin（\frac{π}{2}+α）}}$，代入求解即可；
（Ⅱ）利用二倍角公式求出正弦函數(shù)與余弦函數(shù)值，然后利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：因為P（-4，3）為角α終邊上一點，所以$sinα=\frac{3}{5}$，$cosα=-\frac{4}{5}$．…（2分）
（I）$\frac{{cos（α-\frac{π}{2}）sin（2π-α）cos（π-α）}}{{sin（\frac{π}{2}+α）}}$
=$\frac{sinα•（-sinα）•（-cosα）}{cosα}$
=sin²α…（5分）
=$\frac{9}{25}$；…（6分）
（II）$sin2α=2sinαcosα=-\frac{24}{25}$，$cos2α=2{cos^2}α-1=\frac{7}{25}$，…（8分）
又因β為第三象限角，且tanβ=1，所以$sinβ=cosβ=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（9分）
則cos（2α-β）=cos2αcosβ+sin2αsinβ…（10分）
=$\frac{7}{25}$×$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$$+（-\frac{24}{25}）×（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$=$\frac{{17\sqrt{2}}}{50}$．…（12分）

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計算能力．