Question

（本小題滿分14分）已知數(shù)列中，，其前項和滿足．

（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式；

（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和；

（Ⅲ）設（為非零整數(shù)，），是否存在確定的值，使得對任意，有恒成立．若存在求出的值，若不存在說明理由。

 

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）λ=﹣1；

【解析】

試題分析：1．錯位相減法求和的方法為：:設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q（q≠1）設Sn＝a1b1＋a2b2＋ ＋anbn①，則qSn＝a1b2＋a2b3＋ ＋an－1bn＋anbn＋1②，

①－②得：（1－q）Sn＝a1b2＋d（b2＋ ＋bn）－anbn+1，進而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題．

錯位相減法是數(shù)列求和的一種重要方法，是高考中的熱點問題，值得注意的是，這種方法運算過程復雜，運算量大，應加強對解題過程的訓練，重視運算能力的培養(yǎng)．

試題解析：

（Ⅰ）證明：由已知，,

即（n≥2，n∈N*），且．

∴數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，

∴． （3分）

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知， 4分

設它的前n項和為

∴

兩式相減可得：

所以 7分

（Ⅲ）【解析】
∵，∴， 8分

要使恒成立，則恒成立

∴恒成立，

∴恒成立． 10分

（�。┊攏為奇數(shù)時，即λ＜恒成立，當且僅當n=1時，有最小值為1，∴λ＜1．

（ⅱ）當n為偶數(shù)時，即λ＞﹣恒成立，當且僅當n=2時，﹣有最大值

﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ為非零整數(shù)，則λ=﹣1．

綜上所述，存在λ=﹣1，使得對任意n∈N*，都有． 14分

考點：等差數(shù)列定義、通項、數(shù)列求和等綜合應用．