Question

20．已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F作傾斜角為30°的直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若$\frac{|AF|}{|BF|}$∈（0，1），則$\frac{|AF|}{|BF|}$=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，求出A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用拋物線的定義 $\frac{|AF|}{|BF|}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$，求出$\frac{|AF|}{|BF|}$的值．

解答 解：設(shè)直線l的方程為：x=$\sqrt{3}$（y-$\frac{p}{2}$），再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}=2px\\ x=\sqrt{3}（y-\frac{p}{2}）\end{array}\right.$，∴12y²-20py+3p²=0，解得y₁=$\frac{p}{6}$，y₂=$\frac{3p}{2}$，
∴$\frac{|AF|}{|BF|}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，利用拋物線的定義，$\frac{|AF|}{|BF|}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$是解題的關(guān)鍵．