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已知ai＞0（i=1，2，…，n），考查
①a1•
1
a1
≥1；
②(a1+a2)(
1
a1
+
1
a2
)≥4；
③(a1+a2+a3)(
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
)≥9．
歸納出對a1，a2，…，an都成立的類似不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．
結(jié)論：（a1+a2+…+an）（
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
）≥n2…（3分）
證明：①當(dāng)n=1時，顯然成立；…（5分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，
即：（a1+a2+…+ak）（
1
a1
+
1
a2
+…+
1
ak
）≥k2…（7分）
那么，當(dāng)n=k+1時，
（a1+a2+…+ak+ak+1）（
1
a1
+
1
a2
+…+
1
ak
+
1
ak+1
）
=（a1+a2+…+ak）（
1
a1
+
1
a2
+…+
1
ak
）+ak+1（
1
a1
+
1
a2
+…+
1
ak
）+
1
ak+1
（a1+a2+…+ak）+1
≥k2+（
ak+1
a1
+
a1
ak+1
）+（
ak+1
a2
+
a2
ak+1
）+…+（
ak+1
ak
+
ak
ak+1
）+1
≥k2+2k+1
=（k+1）2
即n=k+1時，不等式也成立．…（14分）
由①②知，不等式對任意正整數(shù)n成立．…（15分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知ai＞0（i=1，2，…，n），考察下列式子：(i)a1•
1
a1
≥1；(ii)(a1+a2)(
1
a1
+
1
a2
)≥4；(iii)(a1+a2+a3)(
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
)≥9．我們可以歸納出，對a1，a2，…，an也成立的類似不等式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知ai＞0（i=1，2，3，…，n），觀察下列不等式：
a1+a2
2
≥
a1•a2
；
a1+a2+a3
3
≥
3a1a2a3
；
a1+a2+a3+a4
4
≥
4a1•a2•a3•a4
；…；由以上不等式，我們可以推測到一個對a1，a2，…，an也成立的不等式為
a1+a2+…+an
n
≥
na1a2…an
a1+a2+…+an
n
≥
na1a2…an
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知ai＞0（i=1，2，…，n），考查
①a1•
1
a1
≥1；
②(a1+a2)(
1
a1
+
1
a2
)≥4；
③(a1+a2+a3)(
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
)≥9．
歸納出對a1，a2，…，an都成立的類似不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年北京市豐臺區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

已知ai＞0（i=1，2，3，…，n），觀察下列不等式：；；；…；由以上不等式，我們可以推測到一個對a1，a2，…，an也成立的不等式為    ．

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同步練習(xí)冊答案