Question

在△ABC中，求分別滿足下列條件的三角形形狀：
①B=60°，b²=ac；②b²tanA=a²tanB；
③sinC=

sinA+sinB

cosA+cosB

；④（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B）．

Answer 1

①由余弦定理cos60°=

a2+c2-b2

2ac

?

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

?a2+c2-ac=ac
∴（a-c）²=0，∴a=c．由a=c及B=60°可知△ABC為等邊三角形．
②由b2tanA=a2tanB?

b2sinA

cosA

=

a2sinB

cosB

?

sinBcosA

sinAcosB

=

b2

a2

=

sin2B

sin2A

∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=90°，
∴△ABC為等腰△或Rt△．
③∵sinC=

sinA+sinB

cosA+cosB

，由正弦定理：c（cosA+cosB）=a+b，
再由余弦定理：c×

a2+b2-c2

2bc

+c×

a2+c2-b2

2ac

=a+b
∴（a+b）（c²-a²-b²）=0，∴c²=a²+b²，∴△ABC為Rt△．
④由條件變形為

sin(A-B)

sin(A+B)

=

a2-b2

a2+b2

∴

sin(A+B)+sin(A-B)

sin(A+B)-sin(A-B)

=

a2

b2

，?

sinAcosB

cosAsinB

=

sin2A

sin2B

，∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=90°．
∴△ABC是等腰△或Rt△．