Question

11．若5${\;}^{{x}^{2}}$•5^x=25^y，則y的最小值是-$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 5${\;}^{{x}^{2}}$•5^x=25^y，即${5}^{{x}^{2}+x}$=5^2y，可得y=$\frac{1}{2}（{x}^{2}+x）$=$\frac{1}{2}（x+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{8}$，利用二次函數的單調性即可得出．

解答 解：∵5${\;}^{{x}^{2}}$•5^x=25^y，
∴${5}^{{x}^{2}+x}$=5^2y，
∴y=$\frac{1}{2}（{x}^{2}+x）$=$\frac{1}{2}（x+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{8}$$≥-\frac{1}{8}$，當且僅當x=-$\frac{1}{2}$時取等號．
∴y的最小值為-$\frac{1}{8}$．
故答案為：-$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了指數函數的單調性、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．