Question

已知函數(shù)f（x）=x³－ax²，其中a為實(shí)常數(shù).

        （1）設(shè)當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)y = f（x）圖象上任一點(diǎn)P處的切線的斜率為k，若k≥－1，求a的取值范圍；

   （2）當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)，求函數(shù)y=f（x）+a（x²－3x）的最大值.

 

 

Answer 1

解析：（1）

       由k≥－1，得3x²－2ax+1≥0，即a≤恒成立…………（2分）

       ∴a≤（3x+）_min………………………………………………………………（4分）

       ∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，3x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號.

       ∴（3x+）_min =.故a的取值范圍是（－∞，].……………………（6分）

   （2）設(shè)g（x）=f（x）+a（x²－3x）=x³－3ax，x∈［－1，1］則

       g′(x)=3x²－3a=3（x²－a）.………………………………………………………（8分）

   ①當(dāng)a≥1時(shí)，∴g′（x）≤0.從而g（x）在［－1，1］上是減函數(shù).

       ∴g（x）的最大值為g（－1）=3a－1.…………………………………………（9分）

   ②當(dāng)0<a<1時(shí)，g′（x）=3（x+）（x－）.

       由g′(x) >0得，x>或x<－：由g′(x)< 0得，－<x<.

       ∴g（x）在［－1，－］，［，1］上增函數(shù)，在［－，］上減函數(shù).

       ∴g（x）的極大值為g（－）=2a.…………………………………………（10分）

       由g（－）－g（1）=2a+3a－1=（+1）?（2－1）知

       當(dāng)2－1<0，即0≤a<時(shí)，g（－）<g（1）

       ∴g（x）=g（1）=1－3a．…………………………………………（11分）

       當(dāng)2－1≥0，即<a<1時(shí)，g（－）≥g（1）

       ∴g（x）=g（－）=2a.………………………………………………（12分）

   ③當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）≥0，從而g（x）在［－1，1］上是增函數(shù).

       ∴g（x）=g（1）=1－3a………………………………………………………（13分）

       綜上分析，g（x） ………………………………（14分）