Question

已知f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）＜f′（x）對(duì)于x∈R恒成立，若f（0）=1，已知e為自然對(duì)數(shù)的底，則（　�。�

• A、f（1）＞e，f（2013）＞e²⁰¹³
• B、f（1）＞e，f（2013）＜e²⁰¹³
• C、f（1）＜e，f（2013）＞e²⁰¹³
• D、f（1）＜e，f（2013）＜e²⁰¹³

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)選項(xiàng)的特點(diǎn)，令g（x）=

f(x)

ex

，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)已知條件f（x）＜f′（x），可以判斷g（x）的單調(diào)性，從而可判定選項(xiàng)的正確與否．

解答： 解：f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）＜f'（x）對(duì)于x∈R恒成立，
令g（x）=

f(x)

ex

，
∴g′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

＞0，
∴g（x）是R上的增函數(shù)，
∵f（0）=1，
∴

f(2013)

e2013

＞

f(0)

e0

=1，

f(1)

e

＞

f(0)

e0

=1
∴f（2013）＞e²⁰¹³，f（1）＞e，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x），是一道好題．另外我們的一般規(guī)律是看到f（x）＜f'（x）時(shí)，就應(yīng)該想到構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

ex

．